pi

του Δρ. Παναγιώτη Λ. Θεοδωρόπουλου

Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03

Με αφορμή την καθιέρωση της 14ης Μαρτίου ως παγκόσμιας ημέρας της σταθεράς π, μας δίνεται η ευκαιρία να αναφερθούμε στη σημασία, στην ιστορία και στις ιδιότητες του αριθμού π που, όπως λέει και ο Ίαν Στιούαρτ, είναι ο πιο ενδιαφέρων αριθμός. Πιστεύω πως θα συμφωνήσουμε ότι είναι ο πιο ενδιαφέρων αριθμός, αν αναλογιστούμε τις εφαρμογές του στα Μαθηματικά, στη Φυσική και στη Μηχανολογία, τις προσπάθειες που έχουν γίνει για τον υπολογισμό του, τις ιδιότητές του, αλλά και τη σύνδεσή του με το περίφημο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου. Η πρόταση για την καθιέρωση της 14ης Μαρτίου ως παγκόσμιας ημέρα του π έγινε το 1988 από τον φυσικό του Exploratorium του San Francisco Larry Shaw4. Επιλέχθηκε η ημέρα αυτή, γιατί στον αμερικάνικο τρόπο γραφής της ημερομηνίας, που όπως γνωρίζουμε προηγείται ο μήνας της ημέρας, η παραπάνω ημερομηνία γράφεται ως εξής: 3 -14 ή 3 / 14, που θυμίζει τα 3 πρώτα ψηφία της ρητής προσέγγισης του π εκφρασμένης στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης (δεκαδική προσέγγιση).

Αρχαίοι λαοί είχαν παρατηρήσει ότι όταν το μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου διαιρεθεί με τη διάμετρό του, τότε το πηλίκο είναι το ίδιο για όλους τους κύκλους. Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι απέδιδαν αυτόν τον λόγο με το κλάσμα 25/8 (19ος αιώνας π.Χ.), οι δε Αιγύπτιοι, όπως προκύπτει από πάπυρο του 17ου αιώνα π.Χ., με το κλάσμα 256/81. Επίσηςκαι άλλοι λαοί, όπως Πέρσες, Ινδοί, Κινέζοι προσπάθησαν να υπολογίσουν τον αριθμό αυτό. Εκείνος, όμως, που προσπάθησε πρώτος να προσεγγίσει τον παραπάνω λόγο με θεωρητικό τρόπο και όχι εμπειρικά ήταν ο Αρχιμήδης (3ος αιώνας π.Χ.). Ο Αρχιμήδης προσεγγίζοντας τον κύκλο με εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα και φθάνοντας στα πολύγωνα με 96 πλευρές κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο παραπάνω λόγος είναι μεταξύ των ρητών αριθμών

310 = 223
  71     71
και 3 1 = 22
        7     7

 

Ο Αρχιμήδης θεώρησε ότι αυτή η προσέγγιση είναι πολύ καλή και γι’ αυτό σταμάτησε. Από πολλούς όμως εικάζεται ότι στην εργασία του «Κύκλου μέτρησις», το πρωτότυπο της οποίας δυστυχώς δεν
βρέθηκε, οδηγήθηκε στην προσεγγιστική τιμή 3,1416 χρησιμοποιώντας πολύγωνα με 384 πλευρές. Την ίδια προσέγγιση ισχυρίστηκαν ότι πέτυχαν και οι Ινδοί, χωρίς όμως να υπάρχουν τεκμήρια τα οποία να υποστηρίζουν αυτόν τον ισχυρισμό. Γι’ αυτό λοιπόν δίκαια ο παραπάνω λόγος είναι γνωστός διεθνώς ως σταθερά του Αρχιμήδη. Ο Αρχιμήδης άνοιξε το δρόμο για μια θεωρητική προσέγγιση του π. Έτσι, όσοι ασχολήθηκαν μετά τον Αρχιμήδη με το θέμα, και είναι πάρα πολλοί, ακολούθησαν το πνεύμα του Αρχιμήδη. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε τον γερμανό Ludolph van Ceulen (Τσόιλεν), ο οποίος στις αρχές του 17ου αιώνα μ.Χ. υπολόγισε τα 35 πρώτα ψηφία της δεκαδικής προσέγγισης του π χρησιμοποιώντας κανονικά πολύγωνα με 262 πλευρές. Η τιμή αυτή του π σύμφωνα με επιθυμία του γράφτηκε πάνω στην επιτύμβια στήλη του. Επίσης, ο Γουίλιαμ Σανκς κάνοντας υπολογισμούς για 20 χρόνια ανακοίνωσε το 1873 τα 707 πρώτα δεκαδικά ψηφία. Όμως, η προσπάθειά του αυτή υπέστη σοβαρό πλήγμα, όταν με τη βοήθεια των πρώτων υπολογιστών6 (1945) ανακαλύφθηκε ότι είχε κάνει λάθος στο 528ο ψηφίο αχρηστεύοντας έτσι όλα τα επόμενα ψηφία.

Το 1706 ο ουαλός μαθηματικός Γουίλιαμ Τζόουνς στο βιβλίο του «Μία Νέα Εισαγωγή στα Μαθηματικά» συμβόλισε πρώτος τη σταθερά του Αρχιμήδη με το ελληνικό γράμμα π, αρχικό γράμμα της ελληνικής λέξης «περιφέρεια»,. Το σύμβολο π όμως καθιερώθηκε και χρησιμοποιείται σήμερα διεθνώς7 όταν το χρησιμοποίησε και ο Euler το 1737 στο βιβλίο του “Variae Observationes circa series infinitas”.

Αξίζει να αναφερθούν ακόμη δύο σταθμοί στην ιστορία του π:

- Το 1767 ο Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ απέδειξε ότι ο π είναι άρρητος αριθμός και
- Το 1882 ο Φέρντιναντ Φον Λίντεμαν απέδειξε ότι ο αριθμός π είναι υπερβατικός, δηλαδή δεν αποτελεί ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς ή ισοδύναμα με ακέραιους συντελεστές.
Η τελευταία απόδειξη έδωσε την τελική απάντηση στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου και συγκεκριμένα ότι ο κύκλος δεν τετραγωνίζεται, αφού, σύμφωνα με θεώρημα της Θεωρίας των Ομάδων, δεν μπορεί να κατασκευαστεί ευθύγραμμο τμήμα μήκους π (ή ισοδύναμα μήκους p ) επειδή ο π είναι υπερβατικός αριθμός.

Τελειώνοντας αναφέρουμε ότι σε πολλές γλώσσες έχουν επινοηθεί διάφορα στιχάκια για την εύκολη απομνημόνευση των πρώτων ψηφίων της δεκαδικής προσέγγισης του π.